Задача 77975
|
|
 |
Условие
Докажите, что многочлен вида x200y200 + 1 нельзя представить в виде произведения многочленов от одного только x и одного только y.
Решение
Предположим, что существуют многочлены f(x) = a0xn + a1xn–1 + ... + an и g(y) = b0ym + b1ym–1 + ... + bm, для которых f(x)g(y) = x200y200 + 1. Положив
x = 0, получим ang(y) = 1, то есть g(y) = 1/an при всех y. Положив y = 0, аналогично получим, что f(x) = 1/bm при всех x. Таким образом, f(x)g(y) = 1/anbm – константа, а функция x200y200 + 1, очевидно, не является константой.
