a) Двое показывают карточный фокус. Первый снимает пять карт из колоды, содержащей 52 карты (предварительно перетасованной кем-то из зрителей), смотрит в них и после этого выкладывает их в ряд слева направо, причём одну из карт кладёт рубашкой вверх, а остальные – картинкой вверх. Второй участник фокуса отгадывает закрытую карту. Докажите, что они могут так договориться, что второй всегда будет угадывать карту.

б) Второй фокус отличается от первого тем, что первый участник выкладывает слева направо четыре карты картинкой вверх, а одну не выкладывает. Могут ли и в этом случае участники фокуса так договориться, чтобы второй всегда угадывал невыложенную карту?

   Решение

Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Назовём натуральное число хорошим, если среди его делителей есть ровно два простых числа.
Могут ли 18 подряд идущих натуральных чисел быть хорошими?

Решение

  Предположим, что нашлись 18 хороших чисел подряд. Среди них найдутся три числа, делящихся на 6. Пусть это числа 6n,  6(n + 1)  и  6(n + 2).  Поскольку эти числа – хорошие, и в разложение каждого из них на простые множители входят двойка и тройка, других простых делителей у них быть не может.
  Лишь одно из трёх подряд идущих натуральных чисел n,  n + 1,  n + 2  может делиться на 3. Значит, остальные два являются степенями двойки. Но пары степеней двойки, отличающихся не более чем на два, – это только  (1, 2)  и  (2, 4);  поэтому  n ≤ 2.  Однако тогда среди наших 18 чисел есть простое число 13 (так как  6n ≤ 13 ≤ 6(n + 2)),  не являющееся хорошим. Противоречие.

Ответ

Не могут.

Источники и прецеденты использования