В треугольнике ABC окружность, проходящая через вершины A и B, касается прямой BC, а окружность, проходящая через вершины B и C, касается прямой AB и второй раз пересекает первую окружность в точке K. Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что угол BKO – прямой.

   Решение

Тема:    [ Подерный (педальный) треугольник ]

Сложность: 5 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Внутри остроугольного треугольника ABC дана точка P. Опустив из нее перпендикуляры PA₁, PB₁ и PC₁ на стороны, получим  A₁B₁C₁. Проделав для него ту же операцию, получим  A₂B₂C₂, а затем  A₃B₃C₃. Докажите, что  A₃B₃C₃ ABC.

Решение

Ясно, что  C₁AP = C₁B₁P = A₂B₁P = A₂C₂P = B₃C₂P = B₃A₃P (первое, третье и пятое равенства получаются из вписанности соответствующих четырехугольников; остальные равенства очевидны). Аналогично  B₁AP = C₃A₃P. Поэтому  B₃A₃C₃ = B₃A₃P + C₃A₃P = C₁AP + B₁AP = BAC. Аналогично получаются равенства остальных углов треугольников ABC и A₃B₃C₃.

Источники и прецеденты использования