Версия для печати
Убрать все задачи

---

У Алисы в кармане шесть волшебных пирожков – два увеличивающих (съешь – вырастешь), а остальные уменьшающие (съешь – уменьшишься). Когда Алиса встретила Мэри Энн, она, не глядя, вынула из кармана три пирожка и отдала их Мэри. Найдите вероятность того, что у одной из девочек нет ни одного увеличивающего пирожка.

   Решение

Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Лёша нарисовал геометрическую картинку, обведя четыре раза свой пластмассовый прямоугольный треугольник, прикладывая короткий катет к гипотенузе и совмещая вершину острого угла с вершиной прямого. Оказалось, что "замыкающий" пятый треугольник – равнобедренный (см. рис., равны именно отмеченные стороны). Найдите острые углы Лёшиного треугольника?

Решение

  Пусть меньший из углов Лёшиного треугольника равен α. Обозначим точки так, как показано на рисунке.

  Заметим, что четыре угла белого пятиугольника равны по  90° + α. Значит, пятый угол (при вершине F) равен  540° – 4(90° + α) = 180° – 4α.  Следовательно,  ∠EAF = ∠AFE = 4α.
  Теперь заметим, что равнобедренные треугольники ABC и CDE с углом при вершине  90° + α  равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому  AC = CE  и  ∠BAC = ∠CED = 45° – ^α/₂.  Значит, треугольник ACE равнобедренный и  ∠CAE = ½ (180° – ((90° + α) – (90° – α)) = 90° – α.
С другой стороны,  ∠CAE = ∠BAE – ∠BAC = (90° + 4α) – (45° – ^α/₂) = 45° + ^9α/₂,  откуда  11α = 90°.

Ответ

^90°/₁₁, ^900°/₁₁.

Источники и прецеденты использования