Версия для печати
Убрать все задачи

---

В ряд стоят 9 вертикальных столбиков. В некоторых местах между соседними столбиками вставлены горизонтальные палочки, никакие две из которых не находятся на одной высоте. Жук ползёт снизу вверх; когда он встречает палочку, он переползает по ней на соседний столбик и продолжает ползти вверх. Известно, что если жук начинает внизу первого столбика, то он закончит свой путь на девятом столбике. Всегда ли можно убрать одну из палочек так, чтобы жук в конце пути оказался наверху пятого столбика?

Например, если палочки расположены как на рисунке, то жук будет ползти по сплошной линии. Если убрать третью палочку на пути жука, то он поползёт по пунктирной линии.

   Решение

Темы:    [ Неравенство Коши ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна h.
Какую наименьшую длину может иметь медиана, проведённая из вершины большего острого угла?

Подсказка

Пусть x – проекция меньшего катета на гипотенузу. Выразите квадрат указанной медианы через x и h.

Решение

  Пусть  CD = h  – высота прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C. Обозначим  AD = x.  Тогда

   

  Если M – середина большего катета BC, то

     

причём равенство достигается, когда  4x² = ,  то есть при  x = .  В этом случае  BD = h,  то есть  BD > AD  и  BC > AC.  Следовательно, BC – больший катет.

Ответ

^3h/₂.

Источники и прецеденты использования