Назовем натуральное число "замечательным", если оно самое маленькое среди натуральных чисел с такой же, как у него, суммой цифр. Чему равна сумма цифр две тысячи первого замечательного числа?

   Решение

Докажите, что из точки A, лежащей вне окружности, можно провести ровно две касательные к окружности, причем длины этих касательных (т. е. расстояния от A до точек касания) равны.

   Решение

Известно, что  aⁿ – bⁿ  делится на n (a, b, n – натуральные числа,  a ≠ b).  Доказать, что делится на n.

   Решение

Темы:    [ Признаки и свойства касательной ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Точка удалена от прямой MN на расстояние a. Данным радиусом r описана окружность так, что она проходит через точку A и касается прямой MN. Найдите расстояние между полученной точкой касания и данной точкой A.

Подсказка

Проведите диаметр данной окружности через полученную точку касания и соедините его концы с данной точкой A.

Решение

Пусть B — полученная точка касания, C — проекция точки A на прямую MN, BD — диаметр данной окружности, K — проекция точки A на этот диаметр. Тогда AK — высота треугольника BAD, проведённая из вершины прямого угла DAB. Поэтому

Ответ

.

Источники и прецеденты использования