Версия для печати
Убрать все задачи

---

Для данной хорды MN окружности рассматриваются треугольники ABC, основаниями которых являются диаметры AB этой окружности, не пересекающие MN, а стороны AC и BC проходят через концы M и N хорды MN. Докажите, что высоты всех таких треугольников ABC, опущенные из вершины C на сторону AB, пересекаются в одной точке.

   Решение

Темы:    [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Прямая $l \parallel AC$ пересекает прямые $AD, BC, AB, CD$ в точках $X, Y, Z, T$. Описанные окружности треугольников $XYB$ и $ZTB$ вторично пересекаются в точке $R$. Докажите, что $R$ лежит на прямой $BD$.

Решение

Пусть прямая $BD$ пересекает $XT$ в точке $U$.

Применяя теорему Менелая к треугольнику $BUZ$ и точкам $X$, $A$, $D$, получаем $$ \frac{XZ}{XU}\cdot\frac{UD}{DB}\cdot\frac{AB}{AZ}=1. $$ Аналогично $$ \frac{TY}{TU}\cdot\frac{UD}{DB}\cdot\frac{BC}{CY}=1. $$ Отсюда, поскольку $AB:AZ=BC:CY$, получаем, что $UX:UZ=UT:UY$, т.е. степени точки $U$ относительно обеих окружностей равны. Поэтому $U$, а значит и $D$, лежат на прямой $BR$.

Источники и прецеденты использования