В кабинете министров Анчурии 100 министров. Среди них есть жулики и честные министры. Известно, что из любых десяти министров по крайней мере один министр – жулик. Какое наименьшее число министров-жуликов может быть в кабинете?

   Решение

Семь монет расположены по кругу. Известно, что какие-то четыре из них, идущие подряд, – фальшивые и что каждая фальшивая монета легче настоящей. Объясните, как найти две фальшивые монеты за одно взвешивание на чашечных весах без гирь. (Все фальшивые монеты весят одинаково.)

   Решение

Темы:    [ Окружность, вписанная в угол ] [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Окружность S₁ вписана в угол A треугольника ABC. Из вершины C к ней проведена касательная (отличная от CA), и в образовавшийся треугольник с вершиной B вписана окружность S₂. Из вершины A к S₂ проведена касательная, и в образовавшийся треугольник с вершиной C вписана окружность S₃
и т. д. Докажите, что окружность S₇ совпадает с S₁.

Решение

  Пусть r_i – радиус окружности S_i, h_i – высота треугольника ABC, опущенная из вершины A при  i = 3k + 1,  из вершины B при  i = 3k + 2,  из вершины C при  i = 3k.  Формулу из задачи 56838 а) можно записать в виде  
  Перемножим i-е и (i+2)-е равенства, а затем поделив на (i+1)-е, получим  

  Правая часть полученного выражения не изменяется при замене i на  i + 3.  Поэтому  
  Поскольку все треугольники невырожденные,  r ≠ r_i+3.  Поэтому  r_i = r_i+6.

Источники и прецеденты использования