Существует ли ломаная, пересекающая все рёбра картинки по одному разу?

   Решение

Тема:    [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ]

Сложность: 5+ Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что если для некоторого треугольника p = 2R + r, то этот треугольник прямоугольный.
б) Докажите, что если  p = 2R sin + rctg(/2), то  — один из углов треугольника (предполагается, что  0 < < ).

Решение

Решим сразу задачу б), частным случаем которой является задача а). Так как  ctg(/2) = sin/(1 - cos), то  p²(1 - x)² = (1 - x²)(2R(1 - x) + r)², где  x = cos. Корень x₀ = 1 этого уравнения нас не интересует, так как в этом случае  ctg(/2) был бы не определен; поэтому, сократив обе части уравнения на 1 - x, придем к кубическому уравнению. Использовав результаты задач 12.38, 12.39, б), 12.41, б), можно проверить, что это уравнение совпадает с уравнением  (x - cos)(x - cos)(x - cos) = 0, где  , и  — углы треугольника. Значит, косинус угла  равен косинусу одного из углов треугольника; кроме того, косинус монотонен на интервале от 0 до .

Источники и прецеденты использования