Два пирата делят добычу, состоящую из двух мешков монет и алмаза, действуя по следующим правилам. Вначале первый пират забирает себе из любого мешка несколько монет и перекладывает из этого мешка в другой такое же количество монет. Затем также поступает второй пират (выбирая мешок, из которого он берет монеты, по своему усмотрению) и т.д. до тех пор, пока можно брать монеты по этим правилам. Пирату, взявшему монеты последним, достается алмаз. Кому достанется алмаз, если каждый из пиратов старается получить его? Дайте ответ в зависимости от первоначального количества монет в мешках.

   Решение

Тема:    [ Радикальная ось ]

Сложность: 5 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Решите задачу 1.67, используя свойства радикальной оси.

Решение

Пусть AC и BD — касательные; E и K — точки пересечения прямых AC и BD, AB и CD; O₁ и O₂ — центры окружностей (рис.). Так как  AB O₁E, O₁E O₂E и  O₂E CD, то  AB CD, а значит, K — точка пересечения окружностей S₁ и S₂ с диаметрами AC и BD. Точка K лежит на радикальной оси окружностей S₁ и S₂; остается проверить, что этой радикальной осью является прямая O₁O₂. Радиусы O₁A и O₁B являются касательными к S₁ и S₂, поэтому точка O₁ лежит на радикальной оси. Аналогично точка O₂ лежит на радикальной оси.

Источники и прецеденты использования