Выбрано 3 задачи 
Убрать все задачи
а) Докажите, что сумма углов при вершинах выпуклого n-угольника равна (n - 2) . 180o.
б) Выпуклый n-угольник разрезан непересекающимися диагоналями на треугольники. Докажите, что количество этих треугольников равно n - 2.
РешениеДокажите, что два четырехугольника подобны тогда и только тогда, когда у них равны четыре соответственных угла и соответственные углы между диагоналями.
РешениеДокажите, что площадь S треугольника равна abc/4R.
Решение
|
|
 |
Условие
Три натуральных числа таковы, что последняя цифра суммы любых двух из них является последней цифрой третьего числа. Произведение этих трёх чисел записали на доске, а затем всё, кроме трёх последних цифр этого произведения, стёрли. Какие три цифры могли остаться на доске?
Решение
Пусть a, b, c – данные числа. По условию, числа a + b – c, b + c – a и c + a – b делятся на 10. Значит, на 10 делится и сумма s = a + b + c этих чисел. С другой стороны, из равенства s = (a + b – c) + 2c и условия следует, что последняя цифра суммы всех трёх чисел равна последней цифре числа 2c. Значит, число c оканчивается на 5 или на 0. Аналогично на 0 или на 5 оканчиваются числа a и b.
Наконец, поскольку сумма s чётна, то и одно из чисел a, b, c также чётно. Итак, одно из этих чисел делится на 10, а два остальных – на 5. Тогда произведение делится на 250, а значит, может оканчиваться лишь на 250, 500, 750 или 000.
Примеры троек чисел, удовлетворяющих условиям и дающих данные последние цифры: 10·10·1000; 5·5·10 = 250; 5·5·20 = 500; 5·5·30 = 750.
Ответ
000, 250, 500 или 750.
