Версия для печати
Убрать все задачи

---

Натуральное число умножили на 5, результат снова умножили на 5 и так далее, всего сделали $k$ умножений. Оказалось, что в десятичной записи исходного числа и полученных $k$ чисел нет
цифры 7. Докажите, что существует натуральное число, которое можно $k$ раз умножить на 2, и снова ни в одном числе не будет цифры 7 в его десятичной записи.

   Решение

Тема:    [ Переведем данную прямую на бесконечность ]

Сложность: 6 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Даны четыре точки A, B, C, D. Пусть P, Q, R — точки пересечения прямых AB и CD, AD и BC, AC и BD соответственно; K и L — точки пересечения прямой QR с прямыми AB и CD соответственно. Докажите, что (QRKL) = - 1 (теорема о полном четырехстороннике).

Решение

Сделаем проективное преобразование, исключительной прямой которого является прямая PQ. Через A', B',... обозначим образы точек A, B,... Тогда A'B'C'D' — параллелограмм, R' — точка пересечения его диагоналей, Q' — бесконечно удаленная точка прямой Q'R', K' и L' — точки, высекаемые сторонами параллелограмма на прямой Q'R'. Ясно, что точки K' и L' симметричны относительно точки R'. Следовательно,

Остается заметить, что согласно задаче 30.2, б) (QRKL) = (Q'R'K'L').

Источники и прецеденты использования