Треугольник ABC вписан в окружность. Точка A₁ диаметрально противоположна точке A, точка A₀ – середина стороны BC, точка A₂ симметрична точке A₁ относительно точки A₀. Точки B₂ и C₂ определяются аналогично. Докажите, что точки A₂, B₂ и C₂ совпадают.

   Решение

Темы:    [ Поворот помогает решить задачу ] [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Правильные многоугольники ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Шестиугольник ABCDEF – правильный, K и M – середины отрезков BD и EF. Докажите, что треугольник AMK – правильный.

Решение

Заметим, что точка K – середина отрезка OC, где O – центр данного правильного шестиугольника. При повороте на 60° относительно точки A, переводящем точку O в точку B, вершина F переходит в точку O, а вершина E – в точку C. Поэтому середина M отрезка FE переходит в середину K отрезка OC. Следовательно, треугольник AMK – равносторонний.

Источники и прецеденты использования