Можно ли расставить по кругу числа 1, 2, ..., 60 в таком порядке, чтобы сумма каждых двух чисел, между которыми находится одно число, делилась на 2, сумма каждых двух чисел, между которыми находятся два числа, делилась на 3, сумма каждых двух чисел, между которыми находятся шесть чисел, делилась на 7?

   Решение

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Дан квадрат ABCD. Точки P и Q лежат на сторонах AB и BC соответственно, причём  BP = BQ.  Пусть H – основание перпендикуляра, опущенного из точки B на отрезок PC. Докажите, что угол DHQ – прямой.

Подсказка

Продолжите BH до пересечения с AD в точке F и опишите окружность около прямоугольника DFQC.

Решение

Пусть F – точка пересечения прямых AD и BH. Прямоугольные треугольники ABF и BCP равны по катету и острому углу. Поэтому  AF = BP = BQ.  Следовательно, QFDC – прямоугольник. Описанная около него окружность (FC – её диаметр) проходит через точку H,  но DQ – также диаметр этой окружности. Поэтому  ∠DHQ = 90°.

Источники и прецеденты использования