В кабинете сидят N нерях, у каждого на его столе скопилось ненулевое количество мусора. Неряхи выходят обедать по одному (после возвращения предыдущего), а в это время каждый из остальных перекладывает половину мусора со своего стола на стол вышедшего. Может ли случиться, что после того, как все пообедали, количество мусора на столах ни у кого не изменится, если а) N = 2; б) N = 10?

   Решение

Темы:    [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Сумма  3¹⁹⁷⁴ + 5¹⁹⁷⁴  делится на 13. Докажите это.

Решение 1

3¹⁹⁷⁴ + 5¹⁹⁷⁴ = (3¹⁹⁷⁴ + 2¹⁹⁷⁴) + (5¹⁹⁷⁴ – 2¹⁹⁷⁴).   3¹⁹⁷⁴ + 2¹⁹⁷⁴ = 9⁹⁸⁷ + 4⁹⁸⁷  делится на  9 + 4 = 13.   5¹⁹⁷⁴ – 2¹⁹⁷⁴ = 125⁶⁵⁸ + 8⁶⁵⁸  делится на
125 – 8 = 117 = 9·13.

Решение 2

3¹⁹⁷⁴ + 5¹⁹⁷⁴ = (27)⁶⁵⁸ + (25)⁹⁸⁷ ≡ 1⁶⁵⁸ + (–1)⁹⁸⁷ = 1 – 1 = 0 (mod 13).

Источники и прецеденты использования