В выпуклом пятиугольнике ABCDE с единичными сторонами середины P, Q сторон AB, CD и середины S, T сторон BC, DE соединены отрезками PQ и ST. Пусть M и N – середины отрезков PQ и ST. Найдите длину отрезка MN.

   Решение

Изменятся ли частное и остаток, если делимое и делитель увеличить в 3 раза?

   Решение

Темы:    [ Многочлены Чебышева ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что у многочлена 2T_n(^x/₂) старший коэффициент равен единице, а все остальные коэффициенты – целые числа.
Здесь T_n – многочлен Чебышёва, смотри задачу 61099.

Подсказка

Найдите рекуррентное соотношение, которому удовлетворяют многочлены 2T_n(^x/₂).

Решение

  Пусть  f_n(x) = 2T_n(^x/₂).  Докажем наше утверждение по индукции, добавив, что  deg f_n = n.
  База. Согласно задаче 61099  f₁(x) = x,  f₂(x) = 4·^x4/₄ = x² – 2.
  Шаг индукции. Согласно задаче 61100  f_n+1(x) = 2T_n+1(^x/₂) = 2xT_n(^x/₂) – 2T_n–1(^x/₂) = xf_n(x) – f_n–1(x).  Теперь из предположения индукции следует, что
deg f_n+1 = n + 1,  все коэффициенты  f_n+1 – целые, а старший коэффициент  f_n+1 равен старшему коэффициенту  f_n, то есть 1.

Источники и прецеденты использования