Дан квадрат ABCD. Точки P и Q лежат соответственно на сторонах AB и BC, причем BP = BQ. Пусть H — основание перпендикуляра, опущенного из точки B на отрезок PC. Докажите, что DHQ = 90^o.

   Решение

Найдите какие-нибудь семь последовательных натуральных чисел, каждое из которых можно изменить (увеличить или уменьшить) на 1 таким образом, чтобы произведение семи полученных в результате чисел равнялось произведению семи исходных чисел.

   Решение

Темы:    [ Сфера, вписанная в трехгранный угол ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ]

Сложность: 3+ Классы: 11

Прислать комментарий

Условие

В трёхгранный угол с вершиной S вписана сфера с центром в точке O.
Докажите, что плоскость, проходящая через три точки касания, перпендикулярна к прямой SO.

Решение

Пусть A, B и C – точки касания сферы с гранями. Радиус OA перпендикулярен касательной SA, поэтому  ∠SAO = 90°.  Аналогично  ∠SBO = ∠SCO = 90°.  В прямоугольных треугольниках SAO, SBO и SCO катеты AO, BO и CO равны (они равны радиусу сферы), поэтому равны и сами треугольники. Следовательно, проекции вершин A, B и C на гипотенузу SO совпадают. Но это и означает, что прямая SO перпендикулярна плоскости ABC.

Источники и прецеденты использования