В республике математиков выбрали число  α > 2  и выпустили монеты достоинствами в 1 рубль, а также в α^k рублей при каждом натуральном k. При этом α было выбрано так, что достоинства всех монет, кроме самой мелкой, иррациональны. Могло ли оказаться, что любую сумму в натуральное число рублей можно набрать этими монетами, используя монеты каждого достоинства не более 6 раз?

   Решение

Точка M – середина стороны AC треугольника ABC. На отрезках AM и CM выбраны точки P и Q соответственно таким образом, что  PQ = ^AC/₂.  Описанная окружность треугольника ABQ второй раз пересекает сторону BC в точке X, а описанная окружность треугольника BCP, второй раз пересекает сторону AB в точке Y. Докажите, что четырёхугольник BXMY – вписанный.

   Решение

Темы:    [ Подсчет двумя способами ] [ Разные задачи на разрезания ] [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Бумажный квадрат был проколот в 1965 точках. Из точек-проколов и вершин квадрата никакие три не лежат на одной прямой. Потом сделали несколько прямолинейных не пересекающихся между собой разрезов, каждый из которых начинался и кончался только в проколотых точках или вершинах квадрата. Оказалось, что квадрат разрезан на треугольники, внутри которых проколов нет. Сколько было сделано разрезов и сколько получилось треугольников?

Решение

Ответ: 5896 разрезов, 3932 треугольника. Решим задачу в общем случае, когда квадрат проколот в n точках. Пусть число полученных треугольников равно x. С одной стороны, сумма углов всех этих треугольников равна x ^. 180^o. С другой стороны, она равна 360^o + n ^. 360^o (сумма углов квадрата и сумма углов 360^o при n вершинах). Следовательно, x = 2n + 2. Пусть число проведённых разрезов равно y. С одной стороны, число сторон полученных треугольников равно 3x. С другой стороны, оно равно 4 + 2y (каждая сторона квадрата учитывается один раз, а каждый разрез — два раза).

Источники и прецеденты использования