Первый член и разность арифметической прогрессии — натуральные числа. Доказать, что найдётся такой член прогрессии, в записи которого участвует цифра 9.

   Решение

В каком году родился норвежский математик Нильс Абель, если последняя цифра этого года на 2 больше третьей и в 4 раза меньше второй?

   Решение

Темы:    [ Математическая логика (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

За круглым столом сидят 2015 человек, каждый из них – либо рыцарь, либо лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Им раздали по одной карточке, на каждой карточке написано по числу; при этом все числа на карточках различны. Посмотрев на карточки соседей, каждый из сидящих за столом сказал: "Мое число больше, чем у каждого из двух моих соседей". После этого k из сидящих сказали: "Мое число меньше, чем у каждого из двух моих соседей". При каком наибольшем k это могло случиться?

Решение

  Пусть A и B – люди, которым достались карточки с самым большим и самым маленьким числами, соответственно. Поскольку они оба сказали первую фразу, A – рыцарь, а B – лжец. Поэтому ни один из них не мог произнести вторую фразу. Следовательно,  k ≤ 2013.
  Ситуация, когда оставшиеся 2013 человек смогут сказать вторую фразу, возможна. Пусть сидящим за столом достались (по часовой стрелке) карточки с числами 1, 2, 3, ..., 2015; при этом карточка с числом 2015 досталась рыцарю, а остальные – лжецам. Тогда первую фразу могут сказать все, а вторую – все, кроме людей с карточками 1 и 2015.

Ответ

При  k = 2013.

Замечания

Существуют и другие примеры распределения карточек, при которых 2013 человек могут сказать вторую фразу.

Источники и прецеденты использования