Выбрано 2 задачи 
Убрать все задачи
В треугольнике АВС М – точка пересечения медиан, О – центр вписанной окружности.
Докажите, что если прямая ОМ параллельна стороне ВС, то точка О равноудалена от середин сторон АВ и АС.
РешениеОкружность покрыта несколькими дугами. Эти дуги могут налегать друг на друга, но ни одна из них не покрывает окружность целиком. Доказать, что всегда можно выбрать несколько из этих дуг так, чтобы они тоже покрывали всю окружность и составляли в сумме не более 720o .
Решение |
|
 |
Условие
На плоскости нарисованы неравнобедренный треугольник ABC и вписанная в него окружность ω. Пользуясь только линейкой и проведя не более восьми линий, постройте на ω такие точки A′, B′, C′, что лучи B′C′, C′A′, A′B′ проходят через A, B, C соответственно.
Решение
Пусть A0, B0, C0 – точки касания окружности ω со сторонами BC, CA, AB. Тогда искомые точки A', B', C' таковы, что четырёхугольники A'A0C'C0, B'B0A'A0 и C'C0B'B0 – гармонические (определение см. в замечании к задаче 65800). Действительно, из подобия треугольников BA'C0 и BC0C'; следует, что A'C0 : C0C' = BA' : BC0. Аналогично A'A0 : A0C' = BA' : BC0, поэтому C0A'·A0C' = A'A0·C'C0, то есть четырёхугольник A'A0C'C0 – гармонический.
Сделаем проективное преобразование, сохраняющее ω и переводящее точку пересечения прямых AA0, BB0 и CC0 в её центр (см. задачу 58424). Оно переведёт треугольник ABC в правильный. Тогда треугольники A0B0C0 и A'B'C' тоже будут правильными, а четырёхугольник A'A0C'C0 будет равнобедренной трапецией. Пусть K – середина A0C0. Условие гармоничности ∠C0A'C' = ∠KA'A0 (см. ссылки в задаче 65879) означает теперь, что ∠KA'A0 = ∠A0C0A' = ∠BA0A', откуда A'K || BC || B0C0 (см. рис.).
1-2. Проведём прямые A0C0, BB0 и найдём точку их пересечения K.
3-4. Проведём прямые BC и B0C0 и найдём точку их пересечения L.
5. Проведём прямую KL и найдём точку A' её пересечения с дугой A0C0.
6. Проведём прямую CA' и найдём точку B' её пересечения с ω.
7. Проведём прямую AB' и найдём точку C' её пересечения с ω.
