На совместной конференции партий лжецов и правдолюбов в президиум было избрано 32 человека, которых рассадили в четыре ряда по 8 человек. В перерыве каждый член президиума заявил, что среди его соседей есть представители обеих партий. Известно, что лжецы всегда лгут, а правдолюбы всегда говорят правду. При каком наименьшем числе лжецов в президиуме возможна описанная ситуация? (Два члена президиума являются соседями, если один из них сидит слева, справа, спереди или сзади от другого.)

   Решение

Тема:    [ Неравенства с медианами ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Периметры треугольников ABM, BCM и ACM, где M — точка пересечения медиан треугольника ABC, равны. Докажите, что треугольник ABC правильный.

Решение

Пусть, например, BC > AC. Тогда MA < MB (см. задачу 10.1), поэтому  BC + MB + MC > AC + MA + MC.

Источники и прецеденты использования