Окружность $\omega_{1}$ проходит через центр $O$ окружности $\omega_{2}$ и пересекает ее в точках $A$ и $B$. Окружность $\omega_{3}$ с центром в точке $A$ и радиусом $AB$ пересекает повторно окружности $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ в точках $C$ и $D$ (отличных от $B$). Докажите, что точки $C$, $O$, $D$ лежат на одной прямой.

   Решение

Тема:    [ Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Окружность S с центром O на основании BC равнобедренного треугольника ABC касается равных сторон AB и AC. На сторонах AB и AC взяты точки P и Q так, что отрезок PQ касается окружности S. Докажите, что тогда  4PB ^. CQ = BC².

Решение

Пусть D, E и F — точки касания окружности с BP, PQ и QC;  BOD = 90^o - B = 90^o - C = COF = ,  DOP = POE = и  EOQ = QOF = . Тогда  180^o = BOC = 2 + 2 + 2, т. е.  + + = 90^o. Так как  BPO = DPE/2 = (180^o - DOE)/2 = 90^o - и  QOC = + = 90^o - , то  BPO = COQ. Ясно также, что  PBO = OCQ. Поэтому  BPO COQ, т. е.  PB ^. CQ = BO ^. CO = BC²/4.

Источники и прецеденты использования