ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 4 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Найдите наименьшее значение функции y = 4x-4ln (x+7)+6 на отрезке [-6,5;0] .

Вниз   Решение

ЕГЭ по математике в волшебной стране Оз устроено следующим образом. Каждую работу независимо друг от друга проверяют три преподавателя, и каждый ставит за каждую задачу 0 или 1 балл. Затем компьютер находит среднее арифметическое оценок за эту задачу и округляет его до ближайшего целого. Затем баллы, полученные за все задачи, суммируются. Случилось так, что в одной из работ каждый из трёх экспертов поставил по 1 баллу за 3 задачи и 0 баллов за все прочие задачи. Найдите наибольший возможный суммарный балл за эту работу.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что треугольник ABC является правильным тогда и только тогда, когда при повороте на 60o (либо по часовой стрелке, либо против) относительно точки A вершина B переходит в C.

ВверхВниз   Решение

Автор: Злобин С.А.

Два различных числа x и y (не обязательно целых) таковы, что  x² – 2000x = y² – 2000y.  Найдите сумму чисел x и y.

Вверх   Решение

Задача 61486
Темы:    [ Квадратные корни (прочее) ]
[ Предел последовательности, сходимость ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11
 В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть (1 + $ \sqrt{2}$ + $ \sqrt{3}$)n = pn + qn$ \sqrt{2}$ + rn$ \sqrt{3}$ + sn$ \sqrt{6}$ (n $ \geqslant$ 0). Найдите:

а) $ \lim\limits_{n\to \infty}^{}$$ {\dfrac{p_n}{q_n}}$;     б) $ \lim\limits_{n\to \infty}^{}$$ {\dfrac{p_n}{r_n}}$;     в) $ \lim\limits_{n\to \infty}^{}$$ {\dfrac{p_n}{s_n}}$.


Решение

Воспользуемся методом задачи 11.36. Выбирая всевозможные комбинации знаков при числах $ \sqrt{2}$ и $ \sqrt{3}$, получим равенства

$\displaystyle \lambda_{1}^{n}$ = (1 + $\displaystyle \sqrt{2}$ + $\displaystyle \sqrt{3}$)n = pn + qn$\displaystyle \sqrt{2}$ + rn$\displaystyle \sqrt{3}$ + sn$\displaystyle \sqrt{6}$,
$\displaystyle \lambda_{2}^{n}$ = (1 - $\displaystyle \sqrt{2}$ + $\displaystyle \sqrt{3}$)n = pn - qn$\displaystyle \sqrt{2}$ + rn$\displaystyle \sqrt{3}$ - sn$\displaystyle \sqrt{6}$,
$\displaystyle \lambda_{3}^{n}$ = (1 + $\displaystyle \sqrt{2}$ - $\displaystyle \sqrt{3}$)n = pn + qn$\displaystyle \sqrt{2}$ - rn$\displaystyle \sqrt{3}$ - sn$\displaystyle \sqrt{6}$,
$\displaystyle \lambda_{4}^{n}$ = (1 - $\displaystyle \sqrt{2}$ - $\displaystyle \sqrt{3}$)n = pn - qn$\displaystyle \sqrt{2}$ - rn$\displaystyle \sqrt{3}$ + sn$\displaystyle \sqrt{6}$.

Складывая эти равенства с коэффициентами (1, 1, 1, 1), (1, - 1, 1, - 1), (1, 1, - 1, - 1), (1, - 1, - 1, 1), находим

pn = $\displaystyle {\textstyle\dfrac{1}{4}}$ ($\displaystyle \lambda_{1}^{n}$ + $\displaystyle \lambda_{2}^{n}$ + $\displaystyle \lambda_{3}^{n}$ + $\displaystyle \lambda_{4}^{n}$),
     
qn = $\displaystyle {\dfrac{1}{4\sqrt2}}$ ($\displaystyle \lambda_{1}^{n}$ - $\displaystyle \lambda_{2}^{n}$ + $\displaystyle \lambda_{3}^{n}$ - $\displaystyle \lambda_{4}^{n}$),
     
rn = $\displaystyle {\dfrac{1}{4\sqrt3}}$ ($\displaystyle \lambda_{1}^{n}$ + $\displaystyle \lambda_{2}^{n}$ - $\displaystyle \lambda_{3}^{n}$ - $\displaystyle \lambda_{4}^{n}$),
     
sn = $\displaystyle {\dfrac{1}{4\sqrt6}}$ ($\displaystyle \lambda_{1}^{n}$ - $\displaystyle \lambda_{2}^{n}$ - $\displaystyle \lambda_{3}^{n}$ + $\displaystyle \lambda_{4}^{n}$).

Отсюда $ \lim\limits_{n\to \infty}^{}$$ {\dfrac{p_n}{q_n}}$ = $ \sqrt{2}$, $ \lim\limits_{n\to \infty}^{}$$ {\dfrac{p_n}{r_n}}$ = $ \sqrt{3}$, $ \lim\limits_{n\to \infty}^{}$$ {\dfrac{p_n}{s_n}}$ = $ \sqrt{6}$.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 11
Название Последовательности и ряды
Тема Последовательности
параграф
Номер 2
Название Рекуррентные последовательности
Тема Рекуррентные соотношения
задача
Номер 11.059
© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .