Версия для печати
Убрать все задачи

---

Числовая последовательность  A₁, A₂, ..., A_n, ...  определена равенствами   A₁ = 1,   A₂ = – 1,   A_n = – A_n–1 – 2A_n–2   (n ≥ 3).
Докажите, что при любом натуральном n число     является полным квадратом.

   Решение

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Периметр треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8

Прислать комментарий

Условие

Один угол треугольника равен 60°, а лежащая против этого угла сторона равна трети периметра треугольника.
Докажите, что данный треугольник равносторонний.

Решение

  Предположим противное. Пусть в треугольнике ABC угол A равен 60°,  BC = a,  AB = a – x,  тогда  AC = a + x.  Выберем на луче AB точку B', а на луче AC точку C' так, что AB' = AC' = a.

  Треугольник AB'C' – равнобедренный с углом 60°. Поэтому он является и равносторонним, то есть  B'C' = a.
  Осталось заметить, что треугольники BC'B' и C'BC равны по трём сторонам. Поэтому ∠BCC' = ∠C'B'B = 60°.  Таким образои, в треугольнике ABC угол C тоже равен 60°, то есть он равносторонний.

Источники и прецеденты использования