Версия для печати
Убрать все задачи

---

Окружность радиуса 2 с центром (x₀, x₀^-1) пересекает гиперболу xy = 1 в точке (- x₀, - x₀^-1) и в точках A, B, C. Докажите, что треугольник ABC равносторонний.

   Решение

---

Какое из двух чисел больше:

  а)     (n двоек) или   (n − 1  тройка);

  б)     (n троек) или     (n − 1  четвёрка).

   Решение

Темы:    [ Деление с остатком ] [ Разложение на множители ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что среди 51 целого числа найдутся два, квадраты которых дают одинаковые остатки при делении на 100.

Подсказка

Используйте тождество  x² – y² = (x – y)(x + y).

Решение

Разобьём все остатки от деления на 100 на 50 групп:  {1, 99},  {2, 98},  ...,  {49, 51},  {0, 50}.  Поскольку чисел больше 50, найдутся два числа x и y, остатки которых попадут в одну группу. Если это – одна из первых 49 групп, то либо  x – y,  либо  x + y  делится на 100. Если это последняя группа, то и  x – y  и
x + y  кратны 10. В любом случае  x² – y²  делится на 100.

Источники и прецеденты использования