Выбрана 1 задача 
Убрать все задачи
Дано простое число p. Назовём треугольник разрешённым, если все его углы имеют вид m/p·180°, где m целое. Одинаковыми будем считать разрешённые треугольники с одинаковым набором углов (то есть подобные). Вначале дан один разрешённый треугольник. Каждую минуту один из имеющихся треугольников разрезают на два разрешённых так, чтобы после разрезания все имеющиеся треугольники были разными. Спустя некоторое время оказалось, что ни один из треугольников так разрезать нельзя. Докажите, что к этому моменту среди имеющихся частей есть все возможные разрешённые треугольники.
|
|
 |
Условие
На доске написано число 7. Петя и Вася по очереди приписывают к текущему числу по одной цифре, начинает Петя. Цифру можно приписать в начало числа (кроме нуля), в его конец или между любыми двумя цифрами. Побеждает тот, после чьего хода число на доске станет точным квадратом. Может ли кто-нибудь гарантированно победить, как бы ни играл соперник?
Решение
На первом ходу Вася не проиграет, так как нет двузначных квадратов с цифрой 7. Покажем, что далее каждый может приписать в конец текущего числа 2 или 3 так, чтобы соперник не выиграл следующим ходом.
Пусть у нас было число $A$ и соперник может сделать квадрат, приписав цифру как к числу $\overline{A2}$, так и к числу $\overline{A3}$. Поскольку точные квадраты не оканчиваются ни на 2, ни на 3, он припишет цифру в конец: скажем, $x$ в первом случае и $y$ – во втором. Тогда оба числа A2x
и A3y – точные квадраты, разность между которыми меньше 20. Но каждое из этих чисел хотя бы трёхзначно, и тогда разность между соседними точными квадратами не меньше $11^2 - 10^2$ > 20. Противоречие.
Ответ
Не может.
Замечания
8 баллов
