Имеются 100 камней разного веса (одинаковых нет), к каждому приклеена этикетка с указанием его веса. Хулиган Гриша хочет переклеить этикетки так, чтобы общий вес любого набора с числом камней от 1 до 99 отличался от суммы весов, указанных на этикетках из этого набора. Всегда ли он может это сделать?

   Решение

Дан отрезок AB. Найдите на плоскости множество таких точек C, что медиана треугольника ABC, проведённая из вершины A, равна высоте, проведённой из вершины B.

   Решение

Темы:    [ Геометрическая прогрессия ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Имеется 4n положительных чисел, таких, что из любых четырёх попарно различных можно составить геометрическую прогрессию. Доказать, что среди этих чисел найдется n одинаковых.

Решение

Покажем, что среди данных чисел не может быть больше четырёх попарно различных чисел. Объединим равные числа в группы, выберем в каждой группе по одному числу и расположим выбранные числа в порядке убывания: a > b > c > d > e > .... Числа a, b, c, d по условию образуют геометрическую прогрессию. Но ab > cd и ac > bd, поэтому ad = bc, т.е. d = bc/a. Те же самые рассуждения показывают, что e = bc/a.
Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования