Две окружности, вписанные в сегмент AB данной окружности, пересекаются в точках M и N. Докажите, что прямая MN проходит через середину C дополнительной дуги данного сегмента AB.

   Решение

12 полей расположены по кругу: на четырёх соседних полях стоят четыре разноцветных фишки: красная, жёлтая, зелёная и синяя. Одним ходом можно передвинуть любую фишку с поля, на котором она стоит, через четыре поля на пятое (если оно свободно) в любом из двух возможных направлений. После нескольких ходов фишки стали опять на те же четыре поля. Как они могут при этом переставиться?

   Решение

Дано число 100...01; число нулей в нём равно 1961. Докажите, что это число – составное.

   Решение

Для многочленов  f(x) = x² + ax + b  и  g(y) = y² + py + q  с корнями x₁, x₂ и y₁, y₂ соответственно, выразите через a, b, p, q их результант

   Решение

Темы:    [ Четность и нечетность ] [ Инварианты ]

Сложность: 3 Классы: 7,8

Прислать комментарий

Условие

На столе стоят семь стаканов – все вверх дном. За один ход можно перевернуть любые четыре стакана.
Можно ли за несколько ходов добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно?

Подсказка

Как изменяется чётность числа стаканов, стоящих вверх дном?

Решение

Первый способ. Пусть в некоторый момент мы перевернули 4 стакана, из которых k стаканов стояли вверх дном, а  4 – k  – правильно (k может принимать значения от 0 до 4). После переворачивания из этих четырёх стаканов k будут стоять правильно, а  4 – k  – вверх дном. Таким образом, количество стаканов, стоящих вверх дном, изменится на чётное число  4 – k – k = 2(2 – k).  Таким образом, чётность числа стаканов, стоящих вверх дном, не меняется. Поэтому в любой момент имеется нечётное число стаканов, стоящих вверх дном (так как вначале так стояли 7 стаканов).

Второй способ. Заметим, что каждый стакан должен быть перевернут нечётное число раз, а всего стаканов нечётное число, то есть мы должны сделать нечётное число переворотов. Однако при каждом ходе переворачивается чётное число стаканов. Следовательно, перевернуть все стаканы вниз дном невозможно.

Ответ

Нельзя.

Источники и прецеденты использования