Версия для печати
Убрать все задачи

---

Внутри выпуклого четырехугольника A₁A₂B₂B₁ нашлась такая точка C, что треугольники CA₁A₂ и CB₂B₁ – правильные. Точки C₁ и C₂ симметричны точке C относительно прямых A₂B₂ и A₁B₁ соответственно. Докажите, что треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ подобны.

   Решение

Темы:    [ Пересекающиеся окружности ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Дан параллелограмм ABCD. Две окружности с центрами в вершинах A и C проходят через D. Прямая l проходит через D и вторично пересекает окружности в точках X, Y. Докажите, что  BX = BY.

Решение

  Рассмотрим случай, изображенный на рис. Имеем  AX = AD = BC  и  CY = CD = AB.  Кроме того,
∠BCY = ∠C – ∠DCY = ∠C – (π – 2∠CDY) = 2∠CDY – ∠D = ∠CDY – ∠ADX,  ∠BAX = ∠DAX – A = π – 2∠ADX – ∠A = ∠D – 2∠ADX = ∠CDY – ∠ADX.  Значит, треугольники ABX и CYB равны, откуда и следует искомое равенство.

  Другие случаи расположения точек X, Y рассматриваются аналогично.

Источники и прецеденты использования