|
|
 |
Условие
В треугольнике ABC взяты точка N на стороне AB, а точка
M – на стороне AC. Отрезки CN и BM пересекаются в точке O, AN : NB = 2 : 3, BO : OM = 5 : 2.
Найдите CO : ON.
Подсказка
Через вершину B проведите прямую, параллельную AC, и продолжите CN до пересечения с этой прямой в точке K. Рассмотрите подобные треугольники BOK и MOC Затем через вершину C проведите прямую, параллельную AB, и продолжите BM до пересечения с этой прямой в точке L. Тогда подобны треугольники CML и AMB.
Решение
Обозначим CM = 6a, AN = 2x, BN = 3x. Через вершину B проведём прямую, параллельную AC, и продолжим CN до пересечения с этой прямой в точке K. Из подобия треугольников BOK и MOC следует, что BK = CM·BO/OM = 15a.
Из подобия треугольников BNK и ANC следует, что
AC = BK·AN/NB = 15a·⅔ = 10a.
Поэтому AM = AC – MC = 10a – 6a = 4a. Значит, AM : MC = 2 : 3. Следовательно, MN || BC. Из теоремы Фалеса следует, что
CO : ON = BO : OM = 5 : 2.
Ответ
5 : 2.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 3779 |
