|
|
 |
Условие
Две окружности касаются внешним образом в точке A. Прямая, проходящая
через точку A, пересекает первую окружность в точке B, а вторую
окружность – в точке C. Касательная в точке B к первой окружности пересекает вторую окружность в точках D и E (точка D лежит между B и E). Известно, что
AB = 5 и AC = 4. Найдите длину отрезка CE и расстояние от точки A до центра окружности, касающейся отрезка AD и продолжений отрезков ED и EA за точки D и A соответственно.
Подсказка
Докажите, что треугольники EAC и BEC подобны, а луч AB – биссектриса внешнего угла A треугольника DAE.
Решение
Пусть общая касательная данных окружностей, проведённая через точку A, пересекает отрезок BD в точке M. Тогда MA = MB. Обозначим
∠MAB = ∠MBA = α, ∠BAD = β. Если N – точка на продолжении отрезка MA за точку A, то ∠AEC = ∠CAN = ∠MAB = α. Следовательно, треугольники EAC и BEC подобны по двум углам. Значит, CE : AC = BC : CE, откуда CE² = AC·BC = 36.
Поскольку четырёхугольник ADEC – вписанный, то
∠BEC = β. Из того же подобия следует, что ∠CAE = ∠BEC = β, поэтому ∠BAK = ∠CAE = β (K – точка на продолжении отрезка EA за точку A), то есть луч AB – биссектриса угла DAK. Следовательно, центр O окружности, упомянутой во второй части условия, лежит на отрезке AB (это вневписанная окружность
треугольника AED, касающаяся стороны AD). Поскольку DO – биссектриса угла ADB, то AO : BO = AD : BD. С другой стороны, из подобия треугольников BAD и BEC следует, что AD : BD = CE : BC = 2 : 3. Значит, AO : BO = 2 : 3, поэтому AO : BD = 2 : 5. Следовательно, AO = 2.
Ответ
CE = 6, OA = 2.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 3613 |
