Информация о задаче

Задача 102448

Темы:	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
Темы:	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC известно, что AB = BC, AC = 4 $\sqrt{3}$ , радиус вписанной окружности равен 3. Прямая AE пересекает высоту BD в точке E, а вписанную окружность — в точках M и N (M лежит между A и E), ED = 2. Найдите EN.

Подсказка

Обозначьте ME = x, EN = y. Применяя теорему о равенстве произведений отрезков пересекающихся хорд окружности и теорему о касательной и секущей, составьте систему уравнений относительно x и y.

Решение

Пусть вписанная в треугольник ABC окружность вторично пересекает высоту BD в точке K. Обозначим ME = x, EN = y. По теореме о равенстве произведений отрезков пересекающихся хорд окружности ME^.EN = DE^.EK, или xy = 2^.4 = 8.

Из прямоугольного треугольника AED находим, что

AE = $\displaystyle \sqrt{AD^{2}+DE^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{(2\sqrt{3})^{2}+2^{2}}$ = 4.

По теореме о касательной и секущей AM^.AN = AD², или (4 - x)(4 + y) = 12. Из системы

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} xy=8\\ (4-x)(4+y)=12\\ \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lll} xy=8\\ (4-x)(4+y)=12\\ \end{array}$

находим, что y = ${\frac{1+\sqrt{33}}{2}}$ .

Ответ

${\frac{1+\sqrt{33}}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3871