Задача 102505

Темы:    [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Середины высот треугольника ABC лежат на одной прямой. Наибольшая сторона треугольника  AB = 10 см.
Какое максимальное значение может принимать площадь треугольника ABC?

Подсказка

Докажите, что треугольник, удовлетворяющий условию задачи, – прямоугольный. Для этого воспользуйтесь задачей 37549.

Решение

  Пусть A₁, B₁ и C₁ – середины сторон соответственно BC, AC и BC данного треугольника ABC (cм. рис.). Тогда середины высот этого треугольника лежат на прямых B₁C₁, A₁C₁ и A₁B₁.

  Если данный треугольник ABC не прямоугольный, то есть ни одна из сторон не является его высотой, то прямая l, проходящая через середины высот треугольника ABC, не проходит ни через одну вершину треугольника A₁B₁C₁ и при этом пересекает либо три его стороны (в случае остроугольного треугольника), либо только одну (в случае тупоугольного). Это противоречит задаче 37549, следовательно, треугольник ABC – прямоугольный. Так как прямой угол в треугольнике лежит против наибольшей стороны, то  ∠C = 90°.
  Площадь прямоугольного треугольника с постоянной гипотенузой AB максимальна, когда максимальна высота CH этого треугольника, проведённая из вершины прямого угла. Поскольку вершина C лежит на окружности с диаметром AB, то высота CH максимальна, если C – середина дуги AB этой окружности. В этом случае треугольник ABC – равнобедренный и  CH = ½ AB = 5, а S_ABC = ½ AB·CH = 25.

Ответ

25.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3928