Информация о задаче

Задача 102522

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
Темы:	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке A. Через точку B на их общей касательной AB проведены две прямые, одна из которых пересекает первую окружность в точках M и N, а другая вторую окружность в точках P и Q. Известно, что AB = 6, BM = 9, BP = 5. Найдите отношение площадей треугольников MNO и PQO, где точка O — точка пересечения прямых MP и NQ.

Подсказка

Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности. Отсюда следует, что треугольники MNO и QPO подобны.

Решение

Заметим, что точка N лежит между B и M, а точка P — между B и Q. По теореме о касательной и секущей BN^.BM = AB² = BP^.BQ. Следовательно, точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.

(Действительно, из равенства BN^.BM = BP^.BQ следует равенство ${\frac{BN}{BP}}$ = ${\frac{BQ}{BM}}$ . Значит, треугольники BPN и BMQ подобны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому $\angle$ BPN = $\angle$ BMQ. Тогда $\angle$ NMQ + $\angle$ NPQ = 180^o, а это означает, что четырёхугольник MNPQ — вписанный.)

Хорды MP и NQ пересекаются в точке O. Значит, треугольник MNO подобен треугольнику QPO по двум углам ( $\angle$ OMN = $\angle$ OQP как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу), причём коэффициент подобия k равен ${\frac{MN}{PQ}}$ .

Из равенств BN^.BM = AB² и BP^.BQ = AB² находим, что

BN = $\displaystyle {\frac{AB^{2}}{BM}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{36}{9}}$ = 4 и BQ = $\displaystyle {\frac{AB^{2}}{BP}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{36}{5}}$ .

Тогда

MN = BM - BN = 9 - 4 = 5 и PQ = BQ - BP = $\displaystyle {\textstyle\frac{36}{5}}$ - 5 = $\displaystyle {\textstyle\frac{11}{5}}$ .

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta MNO}}{S_{\Delta PQO}}}$ = k² = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{MN}{PQ}}\right.$ $\displaystyle {\frac{MN}{PQ}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{MN}{PQ}}\right)^{2}_{}$ = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{5}{\frac{11}{5}}}\right.$ $\displaystyle {\frac{5}{\frac{11}{5}}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{5}{\frac{11}{5}}}\right)^{2}_{}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{625}{121}}$ .

Ответ

${\frac{625}{121}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3946