Выбрано 11 задач 
Убрать все задачи
Прямая, параллельная стороне AB треугольника ABC, пересекает сторону BC в точке M, а сторону AC – в точке N. Площадь треугольника MCN в два раза больше площади трапеции ABMN. Найдите CM : MB.
Существуют ли такие целые числа x, y и z, для которых выполняется равенство: (x – y)³ + (y – z)³ + (z – x)³ = 2011?
У двух человек было два квадратных торта. Каждый сделал на своем торте по 2 прямолинейных разреза от края до края. При этом у одного получилось три куска, а у другого — четыре. Как это могло быть?
Чему равна сумма цифр всех чисел от единицы до миллиарда?
Имеется 10 отрезков, причём известно, что длина каждого – целое число сантиметров. Два самых коротких отрезка – по сантиметру, самый длинный – 50 см. Докажите, что среди отрезков найдутся три, из которых можно составить треугольник.
Даны прямая и точка вне неё. Как с помощью циркуля и линейки построить прямую, параллельную данной прямой и проходящую через данную точку, проведя при этом возможно меньшее число линий (окружностей и прямых), так что последняя проведённая линия — это искомая прямая? Какого числа линий Вам удалось добиться?
Петя купил "Конструктор", в котором было 100 палочек разной длины. В инструкции к "Конструктору" написано, что из любых трёх палочек "Конструктора" можно составить треугольник. Петя решил проверить это утверждение, составляя из палочек треугольники. Палочки лежат в конструкторе по возрастанию длин. Какое наименьшее число проверок (в самом плохом случае) надо сделать Пете, чтобы доказать или опровергнуть утверждение инструкции?
На стороне AB треугольника ABC отмечена точка K. Отрезок CK пересекает медиану AM треугольника в точке P. Оказалось, что AK = AP.
Найдите отношение BK : PM.
В команде сторожей у каждого есть разряд (натуральное число). Сторож N-го разряда N суток дежурит, потом N суток спит, снова N суток дежурит, N – спит, и так далее. Известно, что разряды любых двух сторожей различаются хотя бы в три раза. Может ли такая команда осуществлять ежедневное дежурство? (Приступить к дежурству сторожа могут не одновременно, в один день могут дежурить несколько сторожей.)
Два пирата играли на золотые монеты. Сначала первый проиграл половину своих монет (отдал второму), потом второй проиграл половину своих, потом снова первый проиграл половину своих. В результате у первого оказалось 15 монет, а у второго — 33. Сколько монет было у первого пирата до начала игры?
Зная, что число 1993 простое, выясните, существуют ли такие натуральные числа x и y, что
а) x² – y² = 1993;
б) x³ – y³ = 1993;
в) x4 – y4 = 1993?
|
|
 |
Условие
Зная, что число 1993 простое, выясните, существуют ли такие натуральные числа x и y, что
а) x² – y² = 1993;
б) x³ – y³ = 1993;
в) x4 – y4 = 1993?
Подсказка
Разложите левую часть на множители.
Решение
а) (x – y)(x + y) = 1993. Учитывая, что число 1993 простое, получаем x – y = 1, x + y = 1993. Отсюда x = 997, y = 996.
б) (x – y)(x² + xy + y²) = 1993, откуда x – y = 1, x² + xy + y² = (x – y)² + 3xy = 1993. Следовательно, xy = 664 = 2³·83. Решений нет.
в) (x² – y²)(x² + y²) = 1993, откуда x² – y² = 1, x² + y² = 1993. Из а) следует, что x² = 997, y² = 996. Решений нет.
Ответ
а) Существуют; б)-в) не существуют.
