Выбрано 8 задач 
Убрать все задачи
а) Докажите, что найдётся многоугольник, который можно разделить отрезком на две равные части так, что этот отрезок разделит одну из сторон многоугольника пополам, а другую – в отношении 1 : 2.
б) Найдётся ли выпуклый многоугольник с таким свойством?
В треугольнике ABC на стороне BC отмечена точка K. В треугольники ABK и ACK вписаны окружности, первая касается стороны BC в точке M, вторая – в точке N. Докажите, что BM·CN > KM·KN.
На плоскости даны треугольник ABC и 10 прямых, среди которых нет параллельных друг другу. Оказалось, что каждая из прямых равноудалена от каких-то двух вершин треугольника ABC. Докажите, что хотя бы три из этих прямых пересекаются в одной точке.
Существует ли непостоянный многочлен $P(x)$, который можно представить в виде суммы $a(x) + b(x)$, где $a(x)$ и $b(x)$ – квадраты многочленов с действительными коэффициентами,
а) ровно одним способом?
б) ровно двумя способами?
Способы, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми.
Дан треугольник и 10 прямых. Оказалось, что каждая прямая равноудалена от каких-то двух вершин треугольника.
Докажите, что или две из этих прямых параллельны, или три из них пересекаются в одной точке.
Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны a . Найдите высоту пирамиды.
Рассматриваются всевозможные квадратные трёхчлены вида x² + px + q, где p, q – целые, 1 ≤ p ≤ 1997, 1 ≤ q ≤ 1997.
Каких трёхчленов среди них больше: имеющих целые корни или не имеющих действительных корней?
В Мексике экологи добились принятия закона, по которому каждый автомобиль хотя бы один день в неделю не должен ездить (владелец сообщает полиции номер автомобиля и "выходной" день недели этого автомобиля). В некоторой семье все взрослые желают ездить ежедневно (каждый – по своим делам!). Сколько автомобилей (как минимум) должно быть в семье, если взрослых в ней
а) 5 человек? б) 8 человек?
|
|
 |
Условие
В Мексике экологи добились принятия закона, по которому каждый автомобиль хотя бы один день в неделю не должен ездить (владелец сообщает полиции номер автомобиля и "выходной" день недели этого автомобиля). В некоторой семье все взрослые желают ездить ежедневно (каждый – по своим делам!). Сколько автомобилей (как минимум) должно быть в семье, если взрослых в ней
а) 5 человек? б) 8 человек?
Подсказка
б) Если каждый день "отдыхает" не более одного автомобиля, то всего автомобилей не более 7.
Решение
а) Пяти автомобилей не хватит, так как в день, когда один из автомобилей "отдыхает", кому-то не на чем будет ехать. Шести, очевидно, хватает.
б) Если каждый день "отдыхает" не более одного автомобиля, то всего автомобилей не больше, чем дней недели, то есть семи. Но этого, очевидно, недостаточно. Значит, в какой-то день отдыхает два автомобиля, и в этот день нужно ещё как минимум 8 автомобилей. Итого 10. Мы доказали, что меньше, чем десятью автомобилями обойтись нельзя.
Десяти автомобилей достаточно: например, каждый рабочий день отдыхают по два автомобиля.
Ответ
а) 6; б) 10 автомобилей.
Замечания
Ср. с задачей 109918.
