ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66849
Тема:    [ Многочлены (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Существует ли непостоянный многочлен p(x) с действительными коэффициентами, который можно представить в виде суммы a(x)+b(x), где a(x) и b(x) – квадраты многочленов с действительными коэффициентами,
а) ровно одним способом?
б) ровно двумя способами?

Способы, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми.

Решение

Пусть ненулевой многочлен P представим в виде суммы квадратов двух многочленов, то есть $P=F^2+G^2$. Заметим, что $F^2+G^2=(cF+sG)^2+(sF-cG)^2$, где $c=\cos\alpha, s=\sin\alpha$. Полагая $0\leqslant\alpha < \pi/2$, получим бесконечно много представлений.

Допустим, какие-то два из них совпадут. То есть $(c_1F+s_1G)^2=(c_2F+s_2G)^2$ или $(c_1F+s_1G)^2=(s_2F-c_2G)^2$. Перенося влево и раскладывая на множители, получим, что какая-то из скобок равна нулю в бесконечном числе точек, следовательно, в ней стоит нулевой многочлен. Посмотрим на коэффициенты перед F и G в этой скобке. Хотя бы один из них не равен нулю, так как числа $c_1+c_2, c_1-c_2, c_1+s_2, s_1+c_2$ ненулевые. Значит, F и G линейно зависимы. Можно считать, что G=tF для некоторого числа t. Тогда $P=(1+t^2)F^2$. Поскольку F – ненулевой, то, по-разному раскладывая $1+t^2$ в сумму квадратов двух чисел, получим бесконечное число представлений многочлена P.

Ответ

не существует.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
номер/год
Номер 41
Год 2019/20
неизвестно
Вариант весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .