|
|
 |
Условие
Существует ли непостоянный многочлен p(x) с действительными коэффициентами, который можно представить в виде суммы a(x)+b(x), где a(x) и b(x) – квадраты многочленов с действительными коэффициентами,
а)
ровно одним способом?
б)
ровно двумя способами?
Способы, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми.
Решение
Пусть ненулевой многочлен P представим в виде суммы квадратов двух многочленов, то есть $P=F^2+G^2$. Заметим, что $F^2+G^2=(cF+sG)^2+(sF-cG)^2$, где $c=\cos\alpha, s=\sin\alpha$. Полагая $0\leqslant\alpha < \pi/2$, получим бесконечно много представлений.
Допустим, какие-то два из них совпадут.
То есть $(c_1F+s_1G)^2=(c_2F+s_2G)^2$ или
$(c_1F+s_1G)^2=(s_2F-c_2G)^2$.
Перенося влево и раскладывая на множители, получим, что какая-то из скобок равна нулю в бесконечном числе точек, следовательно, в ней стоит нулевой многочлен.
Посмотрим на коэффициенты перед F и G в этой скобке.
Хотя бы один из них не равен нулю, так как числа
$c_1+c_2, c_1-c_2, c_1+s_2, s_1+c_2$ ненулевые.
Значит, F и G линейно зависимы.
Можно считать, что G=tF для некоторого числа t.
Тогда $P=(1+t^2)F^2$.
Поскольку F – ненулевой, то, по-разному раскладывая $1+t^2$ в сумму квадратов двух чисел, получим бесконечное число представлений многочлена P.
Ответ
не существует.Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Турнир городов |
| номер/год | |
| Номер | 41 |
| Год | 2019/20 |
| неизвестно | |
| Вариант | весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс |
| задача | |
| Номер | 4 |
