Выбрано 3 задачи 
Убрать все задачи
В клетках шахматной доски записаны в произвольном порядке натуральные числа от 1 до 64 (в каждой клетке записано ровно одно число и каждое число записано ровно один раз). Может ли в ходе шахматной партии сложиться ситуация, когда сумма чисел, записанных в клетках, занятых фигурами, ровно вдвое меньше суммы чисел, записанных в клетках, свободных от фигур?
Докажите, что если многоугольник имеет четное
число осей симметрии, то он имеет центр симметрии.
Вася задумал три различные цифры, отличные от нуля. Петя записал все возможные двузначные числа, в десятичной записи которых использовались только эти цифры. Сумма записанных чисел равна 231. Найдите цифры, задуманные Васей.
|
|
 |
Условие
Вадик написал название своего родного города и все его циклические сдвиги (перестановки по кругу), получив таблицу 1. Затем, упорядочив эти ''слова'' по алфавиту, он составил таблицу 2 и выписал её последний столбец: ВКСАМО.
Саша сделал то же самое с названием своего родного города и получил ''слово'' МТТЛАРАЕКИС. Что это за город, если его название начинается с буквы С?
Подсказка
В последнем столбце таблицы 2 стоят все буквы Сашиного города, В первом столбце таблицы 2 идут все буквы Сашиного города по алфавиту. В названии Сашиного города после буквы, стоящей в последнем столбце этой таблицы, идёт буква, стоящая первой в той же строчке.
Решение
Мы будем постепенно восстанавливать Сашину вторую таблицу.
Заметим сначала, что каждая буква встречается в каждом столбце столько же раз, сколько раз она встречается в слове. Поэтому буквы Сашиного города — МТТЛАРАЕКИС. Так как слова в таблице упорядочены по алфавиту, то в первом столбце эти буквы стоят в алфавитном порядке: А, А, Е, И, К, Л, М, Р, С, Т, Т (табл. 1).
Пусть теперь некоторая буква стоит в последнем столбце таблицы 2. Тогда в слове после неё будет идти буква, стоящая первой в этой строке. (При этом мы считаем, что после последней буквы идёт первая.) Из первой строки табл. 1 видно, что после буквы М идёт буква А, из второй и третьей — что после буквы Т один раз идёт А, а один раз — Е, и т. д.
Так как слова упорядочены по алфавиту, то в строчках с одинаковой первой буквой возможные вторые буквы упорядочены по алфавиту.
Воспользовавшись этим, мы можем заполнить и второй столбец (табл. 2). Из получившейся таблицы видно, что после пары букв МА идёт буква К (первая строчка), после пары ТА идёт М (вторая строчка), и т. д.
Можно, пользуясь этой информацией, заполнить третий столбец, потом четвёртый и т. д., пока не заполнится вся таблица. Но для решения задачи достаточно восстановить третью снизу строку (так как название города начинается с буквы С), что несложно сделать, зная, какая буква идёт за какой парой букв.
Ответ
СТЕРЛИТАМАК.
