ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 103936
Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точки A1, B1, C1 – середины сторон правильного треугольника ABC. Три параллельные прямые, проходящие через A1, B1, C1, пересекают, соответственно, прямые B1C1, C1A1, A1B1 в точках A2, B2, C2. Доказать, что прямые AA2, BB2, CC2 пересекаются в одной точке, лежащей на описанной окружности треугольника ABC.


Решение

  Пусть Z – точка пересечения AA2 и BB2. Так как точки B и B1 симметричны относительно прямой A1C1,  ∠ABZ = ∠C1BB2 = ∠B2B1C1.  Аналогично
BAZ = ∠A2A1C1.  Так как прямые AA2 и BB2 параллельны,  ∠A2A1C2 = ∠B1B2C, следовательно,  ∠AZB = ∠B1C1B2 = ∠C,  то есть точка Z лежит на описанной окружности Ω треугольника ABC.
  Аналогично доказывается, что AA2 и CC2 пересекаются в точке, лежащей на Ω, то есть в той же точке Z.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2005
класс
Класс 11
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .