Версия для печати
Убрать все задачи

---

Даны числа а₁, ..., а_n.
Для 1 ≤ i ≤ n положим

d_i = MAX { a_j | 1 ≤ j ≤ i } - MIN { a_j | i ≤ j ≤ n }
d = MAX { dⁱ | 1 ≤ i ≤ n }

а) Доказать, что для любых x₁ ≤ x₂ ≤ ... ≤ x_n выполняется неравенство

MAX { |x_i - a_i| | 1 ≤ i ≤ n } ≥ d/2.

б) Доказать, что равенство в (*) выполняется для некоторых {x_i} i=1...n

   Решение

---

Через точку внутри вписанного четырёхугольника провели две прямые, делящие его на четыре части. Три из этих частей – вписанные четырёхугольники, причем радиусы описанных вокруг них окружностей равны. Докажите, что четвёртая часть – четырёхугольник, вписанный в окружность того же радиуса.

   Решение

---

Рассматриваются все треугольники АВС, у которых положение вершин В и С зафиксировано, а вершина А перемещается в плоскости треугольника так, что медиана СМ имеет одну и ту же длину. По какой траектории движется точка А?

   Решение

---

Доказать, что число  n⁵ – 5n³ + 4n  делится на 120 при любом натуральном n.

   Решение

Темы:    [ Признаки делимости (прочее) ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3 Классы: 8,9 Название задачи: Делимость на 120.

Прислать комментарий

Условие

Доказать, что число  n⁵ – 5n³ + 4n  делится на 120 при любом натуральном n.

Решение

n⁵ – 5n³ + 4n = n(n² – 1)(n² – 4) = (n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2).  Из пяти последовательных чисел одно делится на 5, по крайней мере одно – на 3, и два числа являются соседними чётными числами, одно из которых делится на 2, а другое на 4. Окончательно данное выражение делится на  2·4·3·5 = 120.

Источники и прецеденты использования