Версия для печати
Убрать все задачи

---

Найдите все такие простые числа p, что число  p² + 11  имеет ровно шесть различных делителей (включая единицу и само число).

   Решение

---

Длины оснований трапеции равны m см и n см (m и n – натуральные числа,  m ≠ n).  Докажите, что трапецию можно разрезать на равные треугольники.

   Решение

---

В пирамиде ABCD рёбра AD , BD и CD равны 5, расстояние от точки D до плоскости ABC равно 4. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC .

   Решение

---

В остроугольном треугольнике ABC провели высоты AD и CE. Построили квадрат ACPQ и прямоугольники CDMN и AEKL, у которых  AL = AB  и
CN = CB.  Докажите, что площадь квадрата ACPQ равна сумме площадей прямоугольников AEKL и CDMN.

   Решение

---

Какое наибольшее число коней можно расставить на доске 5×5 клеток так, чтобы каждый из них бил ровно двух других?

   Решение

Темы:    [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Шахматная раскраска ] [ Степень вершины ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 4+ Классы: 7,8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Какое наибольшее число коней можно расставить на доске 5×5 клеток так, чтобы каждый из них бил ровно двух других?

Решение

  Пример. На рис. приведено расположение 16 коней, удовлетворяющее условию задачи.

  Оценка. Предположим, что нам удалось расставить более 16 коней. Раскрасим доску в шахматном порядке (см. рис.), а коней – в цвет клеток, на которых они стоят. Так как каждый белый конь бьёт двух чёрных, а каждый чёрный – двух белых, то количество чёрных и белых коней одинаково (каждых не меньше девяти). Таким образом, свободно не более трёх белых и не более четырёх чёрных клеток. Поэтому на центральной клетке конь стоять не может (иначе из восьми битых им белых клеток шесть будут свободны).
  Так как свободно не более трёх белых клеток, то по крайней мере один белый конь стоит на клетке, соседней с центральной. Но оттуда он бьёт шесть чёрных клеток. Значит, четыре из них пусты. Вместе с центральной мы получаем пять пустых чёрных клеток. Противоречие.

Ответ

16 коней.

Замечания

7 баллов

Источники и прецеденты использования