ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 105084
Темы:    [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Площади криволинейных фигур ]
[ Перегруппировка площадей ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точки A и B взяты на графике функции y=1/x, x>0. Из них опущены перпендикуляры на ось абсцисс, основания перпендикуляров - HA и HB; O - начало координат. Докажите, что площадь фигуры, ограниченной прямыми OA, OB и дугой AB, равна площади фигуры, ограниченной прямыми AHA, BHB, осью абсцисс и дугой AB.

Решение

Можно считать, что абсцисса точки A меньше абсциссы точки B (рис. 10.1). Рассмотрим точку K пересечения отрезков AHA и OB. Тогда разность рассматриваемых площадей равна разности площадей треугольника OAK и четырёхугольника HAKBHB, которая, в свою очередь, равна разности площадей треугольников OAHA и OBHB. А поскольку OHA*AHA=OHB*BHB=1 (вспомните, что A и B лежат на графике), эти площади равны между собой.


Рис. 10.1

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 63
Год 2000
вариант
Класс 10
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .