Условие
Внутри угла с вершиной M отмечена точка A. Из этой точки выпустили шар, который отразился от одной стороны угла в точке B, затем от другой стороны в точке C и вернулся в A ("угол падения" равен "углу отражения", см. рис.). Докажите, что центр O описанной окружности треугольника BCM лежит на прямой AM. (Шар считайте точкой.)
Решение 1
Перпендикуляры к сторонам угла, восставленные в точках B и C, пересекаются в точке M', диаметрально противоположной M. Из равенства углов падения и отражения следует, что M' – точка пересечения биссектрис треугольника ABC. С другой стороны, точка M лежит на пересечении биссектрис углов B'BC и BCC' (см. рис.), следовательно, равноудалена от прямых AB и AC. Поэтому M лежит также на биссектрисе угла BAC. Значит, весь диаметр MM', включая точку O, лежит на биссектрисе AM угла BAC.
Решение 2
Обозначим ∠BMC = α, ∠MBC = β, ∠MCB = γ. Тогда ∠BOC = 2α, ∠ABC = 180° – 2β, ∠BCA = 180° – 2γ,
∠BAC = 180° – (180° – 2β) – (180° – 2γ) = 2β + 2γ – 180° = 180° – 2α. Отсюда следует, что четырёхугольник ABOC – вписанный. Поэтому
∠MOB + ∠BOA = 2∠MCB + ∠BCA = 2γ + (180° – 2γ) = 180°, что и требовалось доказать.
Замечания
5 баллов
