ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 105104
Темы:    [ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Биссектриса угла (ГМТ) ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Внутри угла с вершиной M отмечена точка A. Из этой точки выпустили шар, который отразился от одной стороны угла в точке B, затем от другой стороны в точке C и вернулся в A ("угол падения" равен "углу отражения", см. рис.). Докажите, что центр O окружности, описанной около треугольника BCM, лежит на прямой AM. (Шар считайте точкой.)


Решение 1

Перпендикуляры к сторонам угла, восставленные в точках B и C, пересекаются в точке M', диаметрально противоположной M. Из равенства углов падения и отражения следует, что M' – точка пересечения биссектрис треугольника ABC. С другой стороны, точка M лежит на пересечении биссектрис углов B'BC и BCC' (см. рис.), следовательно, равноудалена от прямых AB и AC. Поэтому M лежит также на биссектрисе угла BAC. Значит, весь диаметр MM', включая точку O, лежит на биссектрисе AM угла BAC.


Решение 2

Автор: Шамаев Н.

Обозначим  ∠BMC = α,  ∠MBC = β,  ∠MCB = γ.  Тогда  ∠BOC = 2α,  ∠ABC = 180° – 2β,  ∠BCA = 180° – 2γ,
BAC = 180° – (180° – 2β) – (180° – 2γ) = 2β + 2γ – 180° = 180° – 2α.  Отсюда следует, что четырёхугольник ABOC – вписанный. Поэтому
MOB + ∠BOA = 2∠MCB + ∠BCA = 2γ + (180° – 2γ) = 180°,  что и требовалось доказать.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2000/2001
Номер 22
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 3
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 64
Год 2001
вариант
Класс 9
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .