На плоскости даны 16 точек (см. рисунок).

  а) Покажите, что можно стереть не более восьми из них так, что из оставшихся никакие четыре не будут лежать в вершинах квадрата.
  б) Покажите, что можно обойтись стиранием шести точек.
  в) Найдите минимальное число точек, которые достаточно стереть для этого.

   Решение

Дана бесконечная последовательность многочленов P₁(x), P₂(x), ... . Всегда ли существует конечный набор функций  f₁(x),  f₂(x), ...,  f_N(x), композициями которых можно записать любой из них (например,  P₁(x) =  f₂(f₁(f₂(x))))?

   Решение

Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Итерации ] [ Обратные тригонометрические функции ] [ Многочлены (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Дана бесконечная последовательность многочленов P₁(x), P₂(x), ... . Всегда ли существует конечный набор функций  f₁(x),  f₂(x), ...,  f_N(x), композициями которых можно записать любой из них (например,  P₁(x) =  f₂(f₁(f₂(x))))?

Решение

Пусть, например,  f(x) = π + arctg x,  g(x) = x + π,  h(x)  – функция, которая на интервале  (– ^π/₂ + πn, ^π/₂ + πn)  равна P_n(tg x) (см. рис.). Тогда
P_n(x) = h(g(g(...(g(f(x)))...)))  (функция g используется  n – 1  раз).

Ответ

Всегда.

Источники и прецеденты использования