Задача 105205

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Средняя линия треугольника ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Гаврилюк А.

Дан остроугольный треугольник ABC. На сторонах AB и BC во внешнюю сторону построены равные прямоугольники ABMN и LBCK так, что  AB = KC.
Докажите, что прямые AL, NK и MC пересекаются в одной точке.

Решение 1

Рассмотрим окружности, описанные около данных прямоугольников. Обозначим вторую точку их пересечения через X. Тогда  ∠BXN = ∠BXK = 90°.  Значит, точки N, X, K лежат на одной прямой, перпендикулярной BX. Кроме того, треугольники NAB и KLB равны. Поэтому
∠NXA = ∠NBA = ∠LBK = ∠LXK,  а значит, точки A, X, L также лежат на одной прямой. Аналогично, точки M, C, X лежат на одной прямой. Итак, X – точка пересечения этих трёх прямых.

Решение 2

Достроим исходный треугольник до параллелограмма ABCD.

Тогда ALKD и CDNM также параллелограммы. Равнобедренный треугольник CBM получается из треугольника LBA поворотом на 90°, поэтому  CM ⊥ AL || KD.  Значит, прямая CM – серединный перпендикуляр к отрезку KD. Аналогично AL – серединный перпендикуляр к ND. Следовательно, прямые CM и AL – средние линии прямоугольного треугольника KDN и проходят через середину его гипотенузы KN.

Решение 3

Пусть F и G – середины отрезков AL и CM соответственно, X – точка пересечения этих отрезков. Тогда BFXG – прямоугольник (угол CBM получается из угла ABL поворотом на 90°, значит, и биссектрисы этих углов перпендикулярны).

 

то есть X – середина отрезка KN.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	62
Год	2006
вариант
Класс	9
задача
Номер	3
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	27
Дата	2005/2006
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
задача
Номер	3