Прямая, параллельная стороне AB треугольника ABC, пересекает сторону BC в точке M, а сторону AC – в точке N. Площадь треугольника MCN в два раза больше площади трапеции ABMN. Найдите  CM : MB.

   Решение

Существуют ли такие целые числа x, y и z, для которых выполняется равенство:  (x – y)³ + (y – z)³ + (z – x)³ = 2011?

   Решение

У двух человек было два квадратных торта. Каждый сделал на своем торте по 2 прямолинейных разреза от края до края. При этом у одного получилось три куска, а у другого — четыре. Как это могло быть?

   Решение

Чему равна сумма цифр всех чисел от единицы до миллиарда?

   Решение

Имеется 10 отрезков, причём известно, что длина каждого – целое число сантиметров. Два самых коротких отрезка – по сантиметру, самый длинный – 50 см. Докажите, что среди отрезков найдутся три, из которых можно составить треугольник.

   Решение

Темы:    [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ] [ Доказательство от противного ] [ Числа Фибоначчи ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Имеется 10 отрезков, причём известно, что длина каждого – целое число сантиметров. Два самых коротких отрезка – по сантиметру, самый длинный – 50 см. Докажите, что среди отрезков найдутся три, из которых можно составить треугольник.

Решение

Предположим противное: ни из каких трёх отрезков нельзя составить треугольник. Рассмотрим длины отрезков в сантиметрах по возрастанию:
l₁ = l₂ = 1 ≤ l₃ ≤ l₄ ≤ ... ≤ l₁₀ = 50.  Так как из трёх самых коротких отрезков нельзя составить треугольник, то  l₃ ≥ l₁ + l₂ = 2.  Аналогично
l₄ ≥ l₂ + l₃ ≥ 1 + 2 = 3.  Далее,  l₅ ≥ 2 + 3 = 5,  l₆ ≥ 3 + 5 = 8,  l₇ ≥ 5 + 8 = 13,  l₈ ≥ 8 + 13 = 21,  l₉ ≥ 13 + 21 = 33,  l₁₀ ≥ 21 + 33 = 55.  Противоречие.

Источники и прецеденты использования