|
|
 |
Условие
Из выпуклого многогранника с 9 вершинами, одна из которых A, параллельными переносами, переводящими A в каждую из остальных вершин, образуется 8 равных ему многогранников. Докажите, что хотя бы два из этих 8 многогранников пересекаются (по внутренним точкам).Решение
Сделаем гомотетию исходного многогранника M с центром в точке A и коэффициентом 2. Объем растянутого многогранника M' будет в 8 раз больше объема многогранника M. Докажем, что все 8 "перенесенных" многогранников содержатся в M'.Пусть вершину A перенесли в вершину B, X — произвольная точка многогранника M, Y — образ точки X при соответствующем параллельном переносе (рис.). Докажем, что точка Y принадлежит M'.
Отрезок BX целиком содержится в многограннике M, так как многогранник — выпуклый. Значит, его середина K принадлежит многограннику. Четырехугольник ABYX — параллелограмм, поэтому Y получается из K гомотетией с центром в точке A и коэффициентом 2, следовательно, точка Y принадлежит M'.
Заметим, что точки вблизи вершины A не принадлежат ни одному из "перенесенных" многогранников. Действительно, расположим многогранник так, чтобы вершина A была выше всех остальных вершин, тогда существует плоскость, которая проходит ниже вершины A, но выше всех остальных вершин. Эта плоскость отрезает от многогранника M маленький многогранник N, содержащий точку A. Ясно, что он не пересекается ни с одним из перенесенных многогранников.
Предположим теперь, что перенесенные многогранники не пересекаются по внутренним точкам, тогда объем многогранника M' не меньше, чем сумма объема многогранника N и объемов перенесенных многогранников. Но суммарный объем перенесенных многогранников в точности равен объему многогранника M'. Противоречие.
Комментарии. 1o. Задача легко обобщается для n-мерного пространства.
2o. Более слабая формулировка задачи была на XIII Международной математической олимпиаде. Требовалось доказать, что пересекаются хотя бы два из девяти (а не восьми) многогранников.
