Можно ли вычеркнуть из произведения  1!·2!·3!·...·100!  один из факториалов так, чтобы произведение оставшихся было квадратом целого числа?

   Решение

Может ли вершина параболы  у = 4х² – 4(а + 1)х + а  лежать во второй координатной четверти при каком-нибудь значении а?

   Решение

Дан прямоугольный треугольник (см. рисунок). Приложите к нему какой-нибудь треугольник (эти треугольники должны иметь общую сторону, но не должны перекрываться даже частично) так, чтобы получился треугольник с двумя равными сторонами.

   Решение

  В стране, дома жителей которой представляют собой точки плоскости, действуют два закона:
    1. Человек может играть в баскетбол, лишь если он выше ростом большинства своих соседей.
    2. Человек имеет право на бесплатный проезд в транспорте, лишь если он ниже ростом большинства своих соседей.
  В каждом законе соседями человека считаются все люди, живущие в круге некоторого радиуса с центром в доме этого человека. При этом каждый человек сам выбирает себе радиус для первого закона и радиус (не обязательно такой же) для второго закона. Может ли в этой стране не менее 90% людей играть в баскетбол и не менее 90% людей иметь право на бесплатный проезд в транспорте?

   Решение

Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Системы точек ] [ Задачи на проценты и отношения ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9,10

Прислать комментарий

Условие

  В стране, дома жителей которой представляют собой точки плоскости, действуют два закона:
    1. Человек может играть в баскетбол, лишь если он выше ростом большинства своих соседей.
    2. Человек имеет право на бесплатный проезд в транспорте, лишь если он ниже ростом большинства своих соседей.
  В каждом законе соседями человека считаются все люди, живущие в круге некоторого радиуса с центром в доме этого человека. При этом каждый человек сам выбирает себе радиус для первого закона и радиус (не обязательно такой же) для второго закона. Может ли в этой стране не менее 90% людей играть в баскетбол и не менее 90% людей иметь право на бесплатный проезд в транспорте?

Решение

  Приведём пример. Пусть в стране 10 человек, все их дома располагаются на одной прямой, в порядке возрастания ростов этих людей. Пусть расстояния между между ними таковы: 1 км, 2 км, 3 км, 4 км, 5 км, 4 км, 3 км, 2 км, 1 км (см. рис.).

  Тогда все, кроме самого высокого, могут бесплатно ездить в транспорте. Действительно, пятеро самых низких могут выбрать круг радиуса 100 км, тогда они будут ниже 5 из 9 своих соседей. Остальные должны выбрать круг, в котором будет только один сосед. С другой стороны, все, кроме самого низкого, могут играть в баскетбол – для этого пятерым самым высоким нужно выбирать круг радиуса 100 км, а остальным – круг, содержащий только одного соседа.

Ответ

Может.

Замечания

Ср. с задачей 98310.

Источники и прецеденты использования