Задача 107816

Темы:    [ Многочлены Чебышева ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Куликов Е.Ю.

Найдите какой-нибудь многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является число   + .

Решение

Введем обозначения  a = ,  b = ,  x = a + b.  Заметим, что  ab = 1,  то есть  x = a + ¹/_a.  Воспользуемся формулами

   

Подставляя значение  a³ + ¹/_a³  из второго равенства в первое, получаем

Отсюда, учитывая, что  a⁵ + b⁵ = 4,  получаем  x⁵ = 4 + 5(x³ – 3x) + 10x,  или  x⁵ – 5x³ + 5x – 4 = 0.

Ответ

x⁵ – 5x³ + 5x – 4.

Замечания

Задача свелась к тому, чтобы выразить  a⁵ + a^–5  через  a + a^–1.  На самом деле, можно выразить  aⁿ + a^–n  через  a + a^–1  при любом натуральном n:
aⁿ + a^–n = P_n( a + a^–1).  Многочлены P_n связаны с так называемыми многочленами Чебышева T_n (см. задачу 61099) формулой   T_n(x) = ½ P_n(2x).  Это следует из соотношения  cos x = ½ (e^ix + e^–ix}.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	59
Год	1996
вариант
Класс	11
задача
Номер	2