Задача 107825

Темы:    [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Волчкевич М.А.

В ромбе ABCD величина угла B равна 40°, E – середина BC, F – основание перпендикуляра, опущенного из A на DE. Найдите величину угла DFC.

Решение

  Пусть прямые DE и AB пересекаются в точке G (см. рис.). Тогда треугольники DEC и BEG равны по второму признаку. Следовательно,  BG = CD = BA.  Далее можно рассуждать по-разному.

  Первый способ. Точки A, G и C лежат на окружности с центром в точке B, причём AG – диаметр. Так как  ∠AFG = 90°,  точка F лежит на той же окружности.

  По теореме об угле, вписанном в окружность, имеем   ∠GFC = ½ ∠GBC = ½ (180° – 40°) = 70°.  Значит,  ∠DFC = 180° – ∠GFC = 110°.

  Второй способ. Медиана FB прямоугольного треугольника AFG равна половине гипотенузы, то есть  BF = BA = BG.  Треугольники CBF и FBA равнобедренные, поэтому  ∠BCF + ∠BAF = ∠CFA.
  Сумма углов четырёхугольника ABCF равна 360°. Поэтому  ∠CFA + ∠CFA + 40° = 360°,  откуда  ∠CFA = 160°.  Следовательно,
∠CFD = 360° – ∠AFC – ∠AFD = 360° – 160° – 90° = 110°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	60
Год	1997
вариант
Класс	8
задача
Номер	5